Nền tảng: Thành phần và các cột
Một vector $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$ được xác định bởi các thành phần của nó; $v_1$ là thành phần thứ nhất (thường là độ dịch chuyển ngang) và $v_2$ là thành phần thứ hai (theo phương dọc). Sự sắp xếp thẳng đứng này không chỉ mang tính thẩm mỹ; nó là điều kiện tiên quyết cho phép nhân ma trận với vector, vốn định nghĩa nên máy tính hiện đại.
Một hệ số là một con số đơn giản. Khi bạn tính $2v$, bạn nhân từng thành phần: $2 \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2v_1 \\ 2v_2 \end{bmatrix}$. Các hệ số âm, như $-1$, sẽ đảo ngược hướng của vector.
Việc cộng các vector diễn ra theo từng thành phần: $v + w = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{bmatrix}$. Về mặt hình học, quy tắc này tuân theo quy tắc "đầu nối đuôi", nơi theo sau một vector rồi tiếp theo vector khác sẽ dẫn đến tổng.
Tổ hợp tuyến tính: $cv + dw$
Đây là cấu trúc quan trọng nhất trong đại số tuyến tính. Nó biểu thị khả năng đạt đến bất kỳ điểm nào trong không gian bằng cách thay đổi độ dài và cộng các vector cơ sở của chúng ta. Ví dụ:
$$c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + 2d \\ c + 3d \end{bmatrix}$$
Nếu ta đặt $c=1$ và $d=1$, ta nhận được tổng $v + w = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$. Nếu ta đặt $c=0$ và $d=0$, ta sẽ đến điểm Vector không: $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. Lưu ý rằng vector $\mathbf{0}$ khác biệt với số $0$; nó là gốc tọa độ của hệ tọa độ chúng ta.